О количестве натуральных решений специфического дискретного уравнения и его свойствах

В статье исследуется дискретное уравнение в натуральных числах вида x = count (d, x) + n, где: n — натуральное число; count (d, x) — количество вхождений цифры d ∈{0, 1, …, 9} в десятичную запись числа x.

Цель работы — получить априорные оценки решений уравнения и проанализировать зависимость числа решений от параметров d и n.

Основной результат исследования — установлена двусторонняя априорная оценка для решений уравнения: n ≤ x ≤ n + ⌊lgn⌋ + 2. Из нее следует: при фиксированных d и n число натуральных решений ограничено; уравнение разрешимо не для всех значений n. Для цифр d ∈{9, 8, …, 2} и любого натурального n доказано, что число решений не превышает 2. Для d = 1 и любого натурального n показано, что число решений не превышает 3. Для d = 0 конструктивно обосновано, что с ростом n число натуральных решений, каждое из которых может быть представлено в десятичной записи с использованием всего четырех цифр, может неограниченно возрастать.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты имеют теоретико‑математический характер и могут быть применены: при исследовании аналогичных дискретных уравнений в натуральных числах; в анализе математических игр‑головоломок, описываемых подобными уравнениями; как дополнение к известным результатам в области диофантовых уравнений.

1. Barotov D.N. On the Analysis of a System of Equations Containing a Parameter n and Describing a Special State of a Certain Table of Numbers. Mathematics. 2025;14:119. URL: https://doi.org/10.3390/math14010119

2. Allouche J.-P., Shallit J. Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations. Cambridge University Press. 2003. URL: https://doi.org/10.1017/CBO9780511546563

3. Allouche J.-P., Shallit J. The Ring of k-regular Sequences. Theoretical Computer Science. 1992;98:163–197. URL: https://doi.org/10.1016/0304-3975(92)90001-V

4. Alekseyev M.A., Johnson D., Sloane N.J.A. On Kaprekar’s Junction Numbers. 2021. arXiv:2112.14365. URL: https://doi.org/10.48550/arXiv.2112.14365.

5. Gupta S. S. On Some Special Numbers. In: Exploring the Beauty of Fascinating Numbers. Singapore: Springer Nature Singapore; 2025:527-565. URL: https://doi.org/10.1007/978-981-97-2465-9_22

6. Haggarty R. Discrete Mathematics for Computing. Harlow, England; New York: Addison Wesley; 2002. 304 p.

7. Cai Zeyu. An Effective Method for Solving a Class of Transcendental Diophantine Equations. 2025. URL: https://doi.org/10.48550/arXiv.2510.11753

8. Pooja Devi, Anjana Rajoria. Research on Solutions for Algebraic and Transcendental Diophantine Equations. Mathematical Statistician and Engineering Applications. 2022;71(4);12560-12577. URL: https://doi.org/10.17762/msea.v71i4.2291

9. Özkoç Öztürk A., Tekcan A. Integer Solutions of a Special Diophantine Equation. 2011. 1389. URL: https://doi.org/10.1063/1.3637759

10. Stewart Ia., Tall D. Algebraic number theory and fermat’s last theorem, fourth edition. NW: CRC Press Taylor & Francis Group; 2015. 338 p.

11. Kuncak V., Rinard M., Marnette B. On Algorithms and Complexity for Sets with Cardinality Constraints. Computing Research Repository — CORR. 2005;9:1-20. URL: http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2006/512

12. Fogelklou O., Tucker W., Kreiss G. & Siklosi M. A computer-assisted proof of the existence of solutions to a boundary value problem with an integral boundary condition. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2010.16(3). URL: https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2010.07.008

13. Øksendal B. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Springer-Verlag; 2000. URL: https://doi.org/10.1007/978-3-662-03185-8

14. Garifullin R. N. Classification of semidiscrete equations of hyperbolic type. The case of third-order symmetries. Theoretical and Mathematical Physics. 202;217(2):1767-1776. URL: https://doi.org/10.1134/S0040577923110119

15. Berg Ja., Sheombarsing R. Rigorous numerics for ODEs using Chebyshev series and domain decomposition. Journal of Computational Dynamics. 2021;8(3). URL: https://doi.org/10.3934/jcd.2021015

16. Cheban D. One-dimensional monotone nonautonomous dynamical systems. 2024. Science China Mathematics. 67(2):281-314. URL: https://doi.org/10.1007/s11425-021-2084-x

17. Barotov D.N., Barotov R.N., Mikhaylova S.S., Feklin V.G. On the Equation x = count(d, x) + n and Its Application. Mathematics. 2026. 14(6):972. URL: https://doi.org/10.3390/math14060972