dsaitЦифровые решения и технологии искусственного интеллектаDigital Solutions and Artificial Intelligence Technologies3033-7097Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации10.26794/3033-7097-2025-1-3-30-36dsait-18Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕНЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММMATHEMATICAL MODELING, NUMERICAL METHODS AND SOFTWARE PACKAGESДинамические графы и их некоторые приложенияDynamic Graphs and Some of Their Applicationshttps://orcid.org/0000-0003-3186-3901КочкаровР. А.KochkarovR. A.

Расул Ахматович Кочкаров — кандидат экономических наук, доцент кафедры искусственного интеллекта факультета информационных технологий и анализа больших данных

Москва

Rasul A. Kochkarov — Cand. Sci. (Econ.), Assoc. Prof. of the Department of Artificial Intelligence, Faculty of Information Technology and Big Data Analysis

Moscow

rkochkarov@fa.ruhttps://orcid.org/0000-0002-3232-5331КочкаровА. А.KochkarovA. A.

Азрет Ахматович Кочкаров — доктор технических наук, доцент, заместитель директора по инновационной работе ФИЦ Биотехнологии РАН; профессор кафедры искусственного интеллекта факультета информационных технологий и анализа больших данных, Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации

Москва

Azret A. Kochkarov — Dr. Sci. (Tech.), Assoc. Prof., Federal Research Center of Biotechnology of the Russian Academy of Sciences; Prof. Department of Artificial Intelligence, Faculty of Information Technology and Big Data Analysis, Financial University under the Government of the Russian Federation

Moscow

akochkar@fbras.ruФинансовый университет при Правительстве Российской ФедерацииFinancial University under the Government of the Russian FederationФинансовый университет при Правительстве Российской Федерации; ФИЦ Биотехнологии РАНFinancial University under the Government of the Russian Federation; Federal Research Center of Biotechnology of the Russian Academy of Sciences202510122025133036Copyright © Кочкаров Р.А., Кочкаров А.А., 20252025Кочкаров Р.А., Кочкаров А.А.Kochkarov R.A., Kochkarov A.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.digitarin.ru/jour/article/view/18

В статье рассматриваются современные подходы к моделированию сетевых систем и в целом сетей с динамической природой. В работе представлен современный класс динамических графов с описанием их практических применений. В качестве процедуры изменения динамического графа представлены базовые или простые операции, среди которых удаление или добавление вершин и ребер. Выделен специальный подкласс предфрактальных графов со свойствами самоподобия. Для класса динамических графов определено понятие траектории, представленное последовательностью классических графов, меняющихся от одного к другому во времени. Инструментарий динамических графов может стать основой для разработки алгоритмов командно-информационного взаимодействия подвижных абонентов в сетевых системах, в том числе сетевых системах непрерывного пространственного мониторинга. Для описания оптимизационных задач на многовзвешенных графах предложена формальная постановка многокритериальной задачи на предфрактальном графе. Описаны множества допустимых решений, парето-оптимальных и полных решений. Предложены некоторые леммы многокритериальной оптимизации для индивидуальных задач, которые обладают свойством полноты, а также ограничения линейной свертки критериев для поиска парето-оптимальных решений. Исследованы наследственные свойства, проявляющиеся в траекториях динамического графа,— а именно наследственность структурно-функциональных характеристик и, как следствие, наследственность решений при переходе от одного графа к другому в траектории динамического графа. Настоящая работа вносит свой вклад в развитие сетевой науки и теорию динамических сетей, предлагая как подходы, так и частные решения на общих и специальных классах графов.

The article considers modern approaches to modeling network systems and networks with a dynamic nature in general. The paper presents a modern class of dynamic graphs with a description of their practical implementation. Basic or simple operations, including deletion or addition of vertices and edges, are presented as a procedure for changing a dynamic graph. A special subclass of prefractal graphs with self-similarity properties is identified. For the class of dynamic graphs, the concept of a trajectory is defined, represented by a sequence of classical graphs changing from one to another in timeline. The toolkit of dynamic graphs can become the base for developing algorithms for command-information interaction of mobile subscribers in network systems, including network systems of continuous spatial monitoring. To describe optimization problems on multi-weighted graphs, a formal statement of a multi-criteria problem on a prefractal graph is proposed. Sets of feasible solutions, Pareto-optimal and complete solutions are described. Some lemmas of multicriterial optimization for individual problems that have the property of completeness are proposed, as well as restrictions on the linear convolution of criteria for finding Pareto-optimal solutions. The hereditary properties that manifest themselves in the trajectories of a dynamic graph are investigated, namely, the heredity of structural and functional characteristics and, as a result, the heredity of decisions during the transition from one graph to another in the trajectory of a dynamic graph. This work contributes to the development of network science and the theory of dynamic networks, offering both approaches and particular solutions on general and special classes of graphs.

динамический графмногокритериальная оптимизацияпредфрактальный графнаследственные свойствамногокритериальные задачисетевая наукадинамические сетиdynamic graphmulticriteria optimizationprefractal graphhereditary propertiesmulticriteria problemsnetwork sciencedynamic networksСтатья подготовлена по результатам исследований, выполненных за счет средств Научного фонда Финансового университета при Правительстве Российской Федерации.ReferencesРобертс Ф. С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам. Пер. с англ. М.: Наука; 1986. 494 с.Roberts F. S. Discrete Mathematical Models with Applications to Social, Biological, and Ecological Problems. Transl. from Eng. Moscow: Nauka; 1986. 494 p. (In Russ.).Westaby J. D. Dynamic Network Theory: How Social Networks Influence Goal. American Psychological Association; 2011. 279 p.Westaby J. D. Dynamic Network Theory: How Social Networks Influence Goal. American Psychological Association; 2011. 279 p.Губанов Д.А., Новиков Д.А., Чхартишвили А. Г. Социальные сети: модели информационного влияния, управления и противоборства. М.: Физматлит; 2010. 228 с.Gubanov D.A., Novikov D.A., Chkhartishvili A. G. Social networks: Models of information influence, control and confrontation. Moscow: Fizmatlit; 2010. 228 p. (In Russ.).Кучерявый А. Е., Прокопьев А. В., Кучерявый Е.А. Самоорганизующиеся сети. СПб.: Любавич; 2011. 311 с.Kucheryavy A. E., Prokopyev A. V., Kucheryavy E. A. Self-organizing networks. St. Petersburg: Lyubavich; 2011. 311 p. (In Russ.).Голдсмит А., Медар М., Эффрос М. Самоорганизующиеся беспроводные сети. В мире науки. 2012;(6):76–81. URL: https://www.elibrary.ru/ocsgztGoldsmith A., Medar M., Effros M. Self-organizing wireless networks. V mire nauki. 2012;(6):76–81. URL: https://www.elibrary.ru/ocsgzt (In Russ.).Визгунов А. Н., Гольденгорин Б. И., Замараев В. А. и др. Применение рыночных графов к анализу фондового рынка России. Журнал Новой экономической ассоциации. 2012;3(15):66–81. URL: https://www.elibrary.ru/pfiuxnVizgunov A. N., Goldengorin B. I., Zamaraev V. A., et. al. Application of market graphs to the analysis of the Russian stock market. New Economic Journal. 2012;3(15):66–81. URL: https://www.elibrary.ru/pfiuxn (In Russ.).Georg C. P. The Effect of Interbank Network Structure on Contagion and Common Shocks. Journal of Banking & Finance. 2013;37(7):2216–2228. DOI: 10.1016/j.jbankfin.2013.02.032Georg C. P. The Effect of Interbank Network Structure on Contagion and Common Shocks. Journal of Banking & Finance. 2013;37(7):2216–2228. DOI: 10.1016/j.jbankfin.2013.02.032Krön B. Growth of self-similar graphs. J. Graph Theory. 2004;45(3):224–239. DOI: 10.1002/jgt.10157Krön B. Growth of self-similar graphs. J. Graph Theory. 2004;45(3):224–239. DOI: 10.1002/jgt.10157Кочкаров А. А. Структурная динамика: свойства и количественные характеристики предфрактальных графов. М.: Вега-Инфо; 2012. 120 с.Kochkarov A. A. Structural Dynamics: Properties and Quantitative Characteristics of Prefractal Graphs. Moscow: Vega-Info; 2012. 120 p. (In Russ.).Кочкаров А. А., Малинецкий Г. Г., Кочкаров Р. А. Некоторые аспекты динамической теории графов. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2015;55(9):1623–1629. DOI: 10.7868/S0044466915090094Kochkarov A. A., Malinetsky G. G., Kochkarov R. A. Some Aspects of Dynamic Graph Theory. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2015;55(9):1623–1629. (In Russ.). DOI: 10.7868/S0044466915090094Rozenfeld H. D., Gallos L.K, Song Ch., Makse H. A. Fractal and Transfractal Scale-Free Networks. Mathematics of Complexity and Dynamical Systems. Robert A. Meyers, ed. New York: Springer; 2012. 1858 p. DOI: 10.1007/978-0-387-30440-3_231Rozenfeld H. D., Gallos L. K., Song Ch., Makse H. A. Fractal and Transfractal Scale-Free Networks. Mathematics of Complexity and Dynamical Systems. Robert A. Meyers, ed. New York: Springer; 2012. 1858 p. DOI: 10.1007/978-0-387-30440-3_231Кочкаров А. М. Распознавание фрактальных графов. Алгоритмический подход. Нижний Архыз: РАН САО; 1998. 170 с.Kochkarov A. M. Recognition of fractal graphs. Algorithmic approach. Nizhniy Arkhyz: RAS SAO; 1998. 170 p. (In Russ.).Казанцев А.М., Кочкаров Р.А., Тимошенко А.В., Сычугов А.А. Некоторые подходы к оценке процесса функционирования структурно-динамических систем мониторинга в условиях внешних воздействий. Моделирование, оптимизация и информационные технологии. 2021;4(35):14. DOI: 10.26102/2316018/2021.35.4.005Kazantsev A. M., Kochkarov R. A., Timoshenko A. V., Sychugov A. A. Some approaches to assessing the functioning of structural-dynamic monitoring systems under external influences. The scientific journal Modeling, Optimization and Information Technology. 2021;4(35):14. (In Russ.). DOI: 10.26102/2310-6018/2021.35.4.005Кочкаров Р.А. Задачи многокритериальной оптимизации на многовзвешенных предфрактальных графах. М.: Академинновация; 2014. 189 с. URL: https://www.elibrary.ru/tyiygdKochkarov R. A. Multicriteria Optimization Problems on Multiweighted Prefractal Graphs. Moscow: AkademInnovatsiya; 2014. 189 p. URL: https://www.elibrary.ru/tyiygd (In Russ.).Перепелица В. А. Многокритериальные модели и методы для задач оптимизации на графах. LAP Lambert Academic Publishing; 2013. 336 с. URL: https://n.eruditor.one/file/1399011/Perepelitsa V. A. Multicriteria Models and Methods for Optimization Problems on Graphs. LAP Lambert Academic Publishing; 2013. 336 p. URL: https://n.eruditor.one/file/1399011/ (In Russ.).Павлов Д.А. Многокритериальная задача покрытия предфрактального графа простыми цепями. Дисс. … канд. физ.-мат. наук. Таганрог: Таганрогский государственный радиотехнический университет; 2004. 110 с. URL: https://new-disser.ru/_avtoreferats/01002738834.pdfPavlov D. A. Multicriteria Problem of Covering a Prefractal Graph with Simple Chains. Diss. Cand. Sci. (Phys.-Math.) Taganrog: Taganrog State Radio Engineering University; 2004. 110 p. URL: https://newdisser.ru/_avtoreferats/01002738834.pdf (In Russ.).Milgram S. The small world problem. Psychology Today. 1967;(2):60–67. DOI: 10.1007/97-3-658-21742-6_94Milgram S. The Small World Problem. Psychology Today. 1967;(2):60–67. DOI: 10.1007/978-3-658-21742-6_94Подлазов А. В., Щетинина Д. П. Модель роста социальной сети. Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша РАН. 2013;(95):1–16. URL: https://keldysh.ru/papers/2013/prep2013_95.pdfPodlazov A. V., Shchetinina DP Social network growth model. Preprinty IPM im. M. V. Keldysha RAN. 2013;(95):1–16. URL: https://keldysh.ru/papers/2013/prep2013_95.pdf (In Russ.).Митин Н.А., Подлазов А. В., Щетинина Д. П. Исследование сетевых свойств Живого журнала. Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша РАН. 2012;(78):1–16. URL: https://keldysh.ru/papers/2012/prep2012_78.pdfMitin N. A., Podlazov A.V., Shchetinina D. P. Study of network properties of LiveJournal. Preprinty IPM im. M.V. Keldysha RAN. 2012;(78):1–16. URL: https://keldysh.ru/papers/2012/prep2012_78.pdf (In Russ.).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.